1.1 协变矢量与逆变矢量对于向量 𝒓, 在基 𝒈𝒊 下，有：𝒓=𝑥1𝑔1+𝑥2𝑔2+𝑥3𝑔3, 𝑔𝑖 满足线性无关。我们引入逆变基向量 𝑔𝑗, 并定义 𝑔𝑖⋅𝑔𝑗=𝛿𝑗𝑖。从而有：𝒓=𝑥𝑖𝑔𝑖𝒓=𝑔𝑖𝑥𝑖𝑥𝑖=𝒓⋅𝑔𝑖𝑥𝑖=𝒓⋅𝑔𝑖我们称 𝑥𝑖 为协变分量，𝑥𝑖 为逆变分量，𝑔𝑖 为协变基矢量，𝑔𝑖 为逆变基矢量。1.2 对偶矢量在三维空间中取一定点 O。从定点 O 出发，指向 𝑀 点的矢量ｒ，称为 𝑀 点的矢径。考虑点 𝑀(𝑥1，𝑥2，𝑥3) 附近的矢径微段 𝑑𝑟，显然有:d𝒓=𝜕𝒓𝜕𝑥𝑖d𝑥𝑖当令 𝒈𝑖=𝜕𝒓𝜕𝑥𝑖 时：d𝒓=𝒈𝑖d𝑥𝑖当令 𝒈𝑖=d𝑥𝑖 时：d𝒓=𝜕𝒓𝜕𝑥𝑖𝒈𝑖从而说明，在曲线坐标系中，𝜕𝒓𝜕𝑥𝑖 是协变基矢量, d𝑥𝑖 是逆变基矢量，两者互为对偶矢量。